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Sistemi
astratti (generalità)
Concetto di sistema
astratto; definizione di sistema; il concetto di stato; sistema astratto
orientato. Sul problema dell'associazione di un sistema astratto a un oggetto
o a un processo; rappresentazioni parametriche; concetto di stato; sul
problema dell'associazione dello stato ad un determinato sistema.
Classificazione dei sistemi; definizione di sistema mediante la
rappresentazione ingresso - stato -uscita
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Rappresentazioni
con lo spazio di stato, lineari, a dimensione finita e stazionarie
Linearità:
decomposizione in risposta libera e forzata; le matrici di transizione e
della risposta forzata nello stato e in uscita: loro proprittà; passaggio
dalla rappresentazione esplicita a quella implicita; generalità sul problema
della realizzazione. Rappresentazioni regolari di sistemi a tempo continuo;
ulteriori proprietà. La linearizzazione delle rappresentazioni in forma
implicita. Trasformazioni di coordinate nello spazio di stato. L'ipotesi di
stazionarietà e le sue implicazioni. Sistemi a tempo discreto per
rappresentare, in istanti discreti, il comportamento di sistemi continui
alimentati da ingressi costanti a tratti (problema della discretizzazione).
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Rappresentazioni
con lo spazio di stato, lineari, a dimensione finita, leggi di moto
stazionarie e comportamento in frequenza
I modi naturali
nell'evoluzione libera dello stato per le rappresentazioni regolari (caso di
autovalori distinti); leggi di moto e traiettorie dei modi naturali (caso di
autovalori distinti); i modi naturali nel regime forzato e nella risposta in
uscita (caso di autovalori distinti); i modi naturali nel caso di autovalori
non distinti. I modi naturali nei sistemi a tempo discreto. Il metodo della trasformata
z per l'analisi dei sistemi a tempo discreto. Il metodo della trasformata di
Laplace per l'analisi dei sistemi a tempo continuo. Il regime permanente e il
regime transitorio; la risposta permanente a ingressi polinomiali; la
risposta permanente a ingressi esponenziali e sinusoidali. Il comportamento
in frequenza dei sistemi dinamici lineari e stazionari. Il problema della
realizzazione di una assegnata matrice di funzioni del tempo. La razionalità
della trasformata condizione di realizzazione. Metodi di realizzazione: il
caso discreto e continuo. Condizioni di esistenza di rappresentazioni con lo
spazio di stato per sistemi descritti da equazioni alle differenze, o
differenziali, ingresso - uscita.
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Fondamenti
di teoria della stabilità
Generalità; situazioni
dinamiche di interesse; definizioni di stabilità: stabilità di un moto e di
uno stato di equilibrio. Alcune proprietà delle rappresentazioni lineari;
condizioni di stabilità per rappresentazioni lineari a dimensione finita. Il
metodo di Lyapunov; applicazione del metodo di Lyapunov al caso di
rappresentazioni lineari stazionarie. Criteri di Routh e Jury. Analisi della
stabilità di rappresentazioni non-lineari per mezzo dell'approssimazione
lineare. La stabilità "esterna" nelle rappresentazioni lineari;
legami tra stabilità esterna ed interna; collegamenti con le proprietà dei
modi.
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Rappresentazioni
con lo spazio di stato, lineari, a dimensione finita, stazionarie: proprietà
strutturali
Raggiungibilità; caratterizzazione
e proprietà dello insieme degli stati raggiungibili; scomposizione rispetto a
tale proprietà. Inosservabilità; caratterizzazione e proprietà dell'insieme
degli stati inosservabili; scomposizione rispetto a tale proprietà. Dualità
delle condizioni di raggiungibilità ed osservabilità*.Il criterio di Hautus*.
La proprietà di controllabilità*. Connessione tra le proprietà dei modi
naturali e le proprietà strutturali. Scomposizione strutturale; ulteriori
proprietà della scomposizione strutturale; i rapporti tra la teoria della
realizzazione e la teoria strutturale. Realizzazioni minime e
rappresentazioni ridotte; sui metodi per la costruzione di realizzazioni
minime ; il metodo di Gilbert*. Condizioni equivalenti di esistenza di
realizzazioni di una assegnata matrice di funzioni del tempo: caso discreto e
continuo. La matrice di Hankel.
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Stabilità
delle rappresentazioni di sistemi interconnessi (sistemi lineari)
Considerazioni
introduttive sui sistemi interconnessi: determinazione della rappresentazione
di un sistema interconnesso; calcolo della funzione di trasferimento di un
sistema interconnesso (formula di Mason); le proprietà strutturali nei
sistemi interconnessi (cenni). Una proprietà dei sistemi reazionati.
Stabilità dei sistemi reazionati ad un solo ingresso ed una sola uscita
(criterio di Nyquist); ulteriori considerazioni pratiche a proposito
dell'impiego del criterio di Nyquist. Stabilita dei sistemi reazionati a più
ingressi e più uscite (cenni).
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Il
problema della assegnazione degli autovalori mediante reazione dallo stato e
dall'uscita
Assegnabilità degli
autovalori mediante reazione dallo stato e raggiungibilità. Il problema
dell'osservatore asintotico e l' osservabilità. Il caso dei sistemi a più
ingressi e uscite. Il problema di modificare gli autovalori di un sistema
mediante reazione dall'uscita; il principio di separazione. Le proprietà di
stabilizzabilità e ricostruibilità*; sulla allocazione degli autovalori nelle
ipotesi di non completa raggiungibilità ed osservabilità.
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Cenni
di analisi dei sistemi non lineari
Classificazione
delle rappresentazioni di sistemi non lineari; la Serie di Volterra per
descrivere il comportamento ingresso uscita ed ingresso stato: sistemi a
tempo continuo e a tempo discreto; le proprietà dei nuclei; problemi di
realizzazione; applicazione ai sistemi bilineari.
Esercitazioni
Durante le
esercitazioni vengono svolti esempi, e proposti esercizi, di applicazione di
tutti i metodi trattati nel corso. Sono stati, inoltre, trattati i
seguenti argomenti: Spazi vettoriali; dipendenza lineare; dimensione di uno
spazio vettoriale: base. Alcune proprietà delle matrici; Trasformazioni
lineari e matrici; Operatori lineari e matrici. Autovalori e autovettori di
una matrice quadrata; autovettori generalizzati di una matrice;
rappresentazioni canoniche di un operatore lineare; forma canonica di Jordan.
Proprietà metriche degli spazi lineari; prodotto interno; operatore aggiunto,
proprietà. Rappresentazioni della funzione di trasferimento; rappresentazioni
grafiche della risposta armonica: diagrammi di Bode, diagrammi polari e di
Nyquist.
gli
argomenti contrasseganti con l'asterisco '*' sono facoltativi per il secondo
gruppo.
